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\newtheorem{problem}{問題}
\newtheorem{example}{例題}
\begin{document}
\title{数理解析演習–例題１の解答}
\author{グループ０・数理太郎}
\date{}
\maketitle
\begin{example}
$f(x)=x^2$ が $\mathbb{R}$ 上の連続関数であることを証明せよ.
\end{example}
\noindent【解答】
任意に $a\in\mathbb{R}$ を固定する.
まず, 関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であることを示す.
任意の $\epsilon>0$ に対して,
次のように $\delta$ を定める.
(このとき $\delta>0$ に注意しておく.)
\begin{equation}\label{eq: formula1}
\delta
=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{2|a|+1}\right\}.
\end{equation}
さて $|x-a|<\delta$ を満たす $x\in\mathbb{R}$ をとると,
\begin{equation}\label{eq: formula2}
|f(x)-f(a)|
=|x^2-a^2|
=|x+a|\cdot|x-a|
<|x+a|\cdot\delta.
\end{equation}
ここで $\delta\leq 1$ より,
\begin{equation}\label{eq: formula3}
|x+a|
=|2a+(x-a)|
\leq 2|a|+|x-a|
<2|a|+\delta
\leq 2|a|+1.
\end{equation}
よって \eqref{eq: formula2}, \eqref{eq: formula3}
と $\displaystyle \delta\leq \frac{\epsilon}{2|a|+1}$ より,
$$
|f(x)-f(a)|
<|x+a|\cdot\delta
<(2|a|+1)\cdot\delta
\leq(2|a|+1)\cdot\frac{\epsilon}{2|a|+1}
=\epsilon.
$$
以上より, 任意の $\epsilon>0$ に対して \eqref{eq: formula1}
のように $\delta>0$ をとると,
$$
|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon
$$
が成り立つことが示された.
したがって $f(x)=x^2$ は $x=a$ で連続である.
また $a\in\mathbb{R}$ は任意だったので,
$f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ 上で連続である. \quad
(証明終)
\end{document}